ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 10° DAVID

Ecuaciones trigonométricas

.

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.

 Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica 

.También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original

EJEMPLO

1)  cos2 x – 3sen2 x = 0

Solución:

1- sen2 x – 3sen2 x = 0

1 – 4sen2 x = 0

 sen2 x = 1/4

 senx = +1/2

x = arcsen1/2 →

 x1 = 30º+ 360k

 x2 = 150º + 360k

 x = arcsen(-1/2) →

 x3= 210º+ 360k

x4 = 330º + 360k

2)
 2cosx = 3tgx


2cosx = 3senx/cosx

 2cos2x = 3senx


2(1-sen2 x) = 3 senx

2 – 2sen2 x – 3senx = 0

Resolvemos como una ecuación de segundo grado en la que la incógnita es senx.

 Obtenemos dos soluciones:

 Solución 1: senx = 1/2 →

 x1 = 30º + 360k

 x2 = 150º + 360k

 Solución 2:

senx = -2 → se descarta, porque ningún seno o coseno puede valer más de 1 o -1.